Начал заниматься футболом с 9 лет. В 11 летнем возрасте впервые вызвали в сборную Ирана для игроков до 12 лет.
Азмун с 15 лет выступал за исфаханский клуб «Сепахан», выступающий в высшем дивизионе чемпионата Ирана. В состав казанского «Рубина» перешёл в 17 лет, в декабре 2012 года, став вторым иранцем в команде после подписанного в январе того же года вратаря Алирезы Хагиги. Он стал самым молодым иранским игроком в истории, выступающим за иностранный клуб.
Первый официальный матч за «Рубин» сыграл 25 июля 2013 года в Лиге Европы против сербской «Ягодины». 29 августа в матче Лиги Европы против «Мольде» вышел на замену и на 84-й минуте забил гол. 6 октября 2013 года дебютировал в Чемпионате России, выйдя на замену на 73 минуте в домашнем матче против «Анжи», на добавленной минуте второго тайма отметился первым голом в официальных матчах за «Рубин», а также заработал пенальти.
В феврале 2015 года перешел в «Ростов» на правах аренды до конца сезона. Его дебют состоялся 8 марта 2015 года в игре против «Локомотива». 16 марта 2015 года отметился первым голом за новый клуб, его гол стал победным в матче против «Кубани». В июле 2015 года подписал новое арендное соглашение с «Ростовом». Оно рассчитано до конца сезона 2015/2016. В сезоне 2015/16 завоевал с командой серебряную медаль чемпионата России. Сыграл в 25 матчах, забил 9 голов.
Летом 2016 года футболист самовольно покинул «Рубин» и сыграл в контрольном матче за «Ростов». 22 июля Спортивный арбитражный суд в Лозанне вынес решение о применении временных мер по жалобе «Ростова» и футболиста Сердара Азмуна в отношении решения РФС и РФПЛ об отказе в заявке футболиста за ростовский клуб. Суд разрешил «Ростову» заявить футболиста на текущий сезон. 25 июля Азмун был внесён в заявку команды «Ростов» на Лигу чемпионов.
1 февраля 2019 года подписал контракт с «Зенитом» сроком на 3,5 года.
Карьера в сборной
Сердар Азмун в игре за сборную Ирана
Сердар Азмун выступает за молодёжную (до 20 лет) сборную Ирана. В её составе в 2012 году стал лучшим бомбардиром Кубка Содружества (7 голов в шести матчах).
В октябре 2013 года был впервые вызван в национальную сборную Ирана по футболу. Он дебютировал 26 мая 2014 года в товарищеском матче со сборной Черногории, выйдя на замену в 60-й минуте. 18 ноября 2014 года в товарищеском матче против Южной Кореи, на 68 минуте матча забил первый гол за сборную.
В январе 2015 года был включён в заявку на Кубок Азии 2015. В первом матче с бахрейнцами нападающий Азмун вышел на замену на 75-й минуте и не успел проявить себя, но сборная Ирана выиграла со счётом 2:0. Своей игрой футболист заслужил право выйти в стартовом составе на матч с Катаром, Азмун забил гол на 52 минуте, тем самым вывел сборную в плей-офф турнира.
28 июня 2018 года в своем Instagram сообщил, что завершает выступления за сборную, заявив, что его критика плохо влияет на его больную мать. Однако осенью 2018 года Азмун отправился в тренировочный лагерь сборной Ирана.
В декабре 2018 года был включён в заявку на Кубок Азии 2019. 7 января в первом матче группового этапа против Йемена отличился голом на 53 минуте игры. В итоге Иранская сборная одержал победу 5:0. Во втором матче группового этапа против сборной Вьетнама два гола Сердара на 38 и 69 минуте принесли победу его сборной со счётом 2:0. В четвертьфинальном матче против сборной Китая, забил второй гол своей команды. Иран победил 3:0 и вышел в полуфинал.
