Родился в семье музыканта Джойс Элдридж и конгрессмена Огайо Кларесна Брауна младшего 5 января 1959 года в городе Урбана, штат Огайо, США. Его отец ко всему прочему возглавлял семейное дело, газету основанную дедом Кларесном Брауном «Brown Publishing Company». Кленси Браун окончил «St. Albans School» в Вашингтоне, затем получил стипендию в «Северо-Западном университете» и вошел в Братство Сигма Чи. Его вдохновили труды Шекспира, с которыми его познакомил сосед по комнате, именно это с подвигло его стать актером. Благодаря его комплекции и низкому голосу, Брауна часто приглашают играть роли отрицательных героев, но в жизни его друзья и коллеги описывают его как приятного, спокойного человека. Он часто занимается озвучкой, играет в независимом кино и теле постановках.
Известен благодаря таким фильмам, как «Горец», «Невеста», «Побег из Шоушенка», «Приключения Бакару Банзая: Через восьмое измерение», «Любовь, ложь и убийство», «Флаббер» и мультсериалу «Губка Боб Квадратные Штаны», в котором озвучил Мистера Крабса.
